Problem şu: Birbirinden farklı dört topumuz var. Topları rastgele gruplarsak topların iki gruba ayrılma olasılığı nedir?
Şimdilik genel formülünü bulamadığımdan amele yoldan çözmeye çalışalım. Onun için de tüm olası durumları yazıp içlerinden iki grubun oluştuğu durumların sayısını bulmalıyız. Toplara A, B, C, D dersek tüm olası durumlar şöyle:
Görüldüğü gibi topları toplam 15 farklı şekilde gruplamak mümkün. Bunlardan yedi tanesinde iki grup oluşuyor. Öyleyse topları rastgele grupladığımızda ikili grup oluşma olasılığı 7/15'tir.
İyi hoş da top sayımız misal 20 diyelim. O zaman bunu elle yapmak kasar. Genel çözüm yolunu bilen beri gelsin.
Soru 2: Toplar farklı değil de birbirinin aynı olsaydı olasılık 2/7 mi olurdu?
Sözlerimi bir alıntı ile bitiriyorum:
"Most real-life problems contain elements of uncertainty. In some models we may introduce random elements to account for uncertainties in human behavior. In other models we may be unsure of the exact physical prameters of a system, or we may be unsure of the exact physical laws that govern its dynamics. It has even been suggested in some cases that physical parameters and physical laws are essentially random - for example in quantum mechanics. Sometimes probabilities are introduced into a model as a matter of convenience, sometimes as a matter of necessity. In either case, it is here in the realm of probability that mathematical modeling becomes most intersting and useful."
- Mark M. Meerschaert, Mathematical Modeling, Second Edition, Part 3: Probability Models
3 comments:
Beri geliyorum,
Öncelikle örnekten yola çıkar isek, 4 öğeli bir gruptan elde edilecek tüm kombinasyonlar
C(4,1)=4 (burada dört grup var)
C(4,2)=6 (burada iki grup var)
C(4,3)=4 (burada iki grup var)
C(4,4)=1 (burada tek grup var)
Bunların toplamı eder 15.
Gönlün ikili gruplar istediğinden 4 öğeli grupta ikili gruplar
C(4,2) ya da C(4,3) içerisinde olur. Lakin C(4,2) aynı iki grubu içerir (ör. ab,cd; cd,ab). Bu durumda C(4,3)=4 ve C(4,2)/2=3 => 4+3=7 bulunur.
Mevzu 20 öğeli grup olsa idi,
Burada ikili olasılıklar
1+19 C(20,19)
2+18 C(20,18)
3+17 C(20,17)
.
.
10+10 C(20,10)/2
Buradan aşağısı 10+10 dan yukarıdakilerin simetriği olacağından hesaplamıyoruz (zira c(20,20) harici normal dağılım oluşturur).
Toplamda 524287 olur.
Bu uzun ve kasıcı anlatımdan sonra olayı şu şekilde basite indirgeyebiliriz:
İkili grup için c(20,20) harici normal dağılım oluşturduğundan
C(20,19)+ C(20,18)...+C(20,2)+ C(20,1) toplamını ikiye böler isek sonuca ulaşırız, 524287.
Soru2: Eğer tüm toplar aynı ise (4 toplu durum için) 1/2 olur (A, AAA ya da AA, AA olacağından).
Yanlışım var mı merak ettim. Hata bulan destursuz saldırabilir.
Alıntındaki belirsizliği okuyunca aşağıdaki alıntı aklıma geldi;
“In this world nothing can be said to be certain except death and taxes.”
Benjamin Franklin
istatistik problemlerini cozmenin en onemli safhasi -daha onceden de konustugumuz gibi- problemin formulasyonunun yapabilmek.
benim bu soruda anlamadigim 'rastgele grup'tan kasit nedir.
bir baska sorun:
durumlarin (event) olasiliklarindan bahsedilir.
4 topumuz var ise toplarin A-B-C-D sirasi ile cekilmesi bir durumdur.
lakin senin tabloda A-B-C-D sirasi 5 kere geciyor. o zaman toplar birden fazla kere mi cekiliyor gibi bir soru geliyor akla.
Tabloda sutunlarin anlaminin ne oldugunun acik degil.
Bir de "Toplar farklı değil de birbirinin aynı olsaydı" ne demek.
Sageya kitap onerisi:
http://www.amazon.com/Modern-Introduction-Probability-Statistics-Understanding/dp/1852338962/ref=sr_1_1/105-3901059-4327651?ie=UTF8&s=books&qid=1189928281&sr=8-1
odtu kutuphanesinde de mevcuttur.
Rahmiye duzeltme:
Dagilim her bir olayin (event) hangi olasiliklikla gercekleseceginin matematiksel formulu (ve grafigi) oluyor.
normal dagilim suregen (continuous) durumlar icin olur. suremegen (discrete) durumlarin dagilimlari bernoulli ve binomial dagilimlarla anlatilir. (bunlardan baska dagililar da vardir mutlaka.)
Senin demek istedigin herhalde su:
elimizde N eleman var ise ve bunlarin S li combinasyonu N-S li kombinasyonuna esittir.
yani c(N,S) = c(N,N-S)
veya c(4,1) = c(4,3) vs.
Nart'a cevaplar:
* Toplar çekilmiyor. Beş top gruplanıyor. Şöyle düşünelim: Torbamızda 15 adet kağıt var ve her kağıdın üzerinde beş topu nasıl grupladığımız yazıyor. Tek kağıt çektiğimizde kağıdın üzerinde beş topun iki gruba ayrıldığı durumun yazma olasılığı nedir?
* Tablodaki sütunların bir önemi yok. Her satır bir gruplanma biçimini (hangi topların yan yana durduğunu) göstermektedir.
* Toplar birbirinin aynı olsaydı misal AB - BC - D gruplanma biçimi ile A-BD-C gruplanma biçimi aynı olurdu. Yani topları 'o' ile ifade edecek olursak ikisi de oo-oo-o grubunu gösterirdi.
Post a Comment