Merkezkaç Kuvveti

Dün eşimin kardeşinin fizikte kavramsal hatalar konulu sunumunu izlerken merkezkaç kuvvetini tartıştık (Bu durum çevremdeki mühendis arkadaşları hasetinden çatlatacaktır; kaçı eşi ile fizikteki kavramsal hatalar konulu bir sohbeti 3 saniyeden fazla sürdürebilir :P). Okullarımızda ve dershanelerde yaygın olarak kullanılmaktaydı merkezkaç kuvveti. Yine tipik bir yanlış yoldan doğru çözümü bulma yöntemi ile karşı karşıyaydık. Eğitim sistemimiz gidiş yolu ile değil sadece cevabın doğruluğu ile ilgilendiği için merkezkaç kuvveti gibi mistik icatlar hayat bulabiliyor kitaplarda ve derslerde.

Eh, madem sistem anlatmıyor, biz anlatalım bari. Merkezkaç kuvveti kullanılarak çözülen tipik bir soruyu ele alalım:


Merkezkaç kuvveti ile çözüm: Cisim tepe noktasındayken üzerine m*g ve ipteki gerilim kuvveti olan T etki eder. Sadece bu kuvvetler etki ederse kuvvetlerin toplamı sıfır olmadığından F = m*a gereği aşağı doğru ivme (a) oluşur cisim aşağı düşer. Cisim aşağı düşmediğine göre kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır. Bunu sağlayan da merkezkaç kuvvetidir (Fm) ve dengeyi sağlayacak şekilde etki etmektedir:


Merkezkaç kuvvetinin değeri m*V^2/r'dir (ezbere bilinmesi gerekiyor, türetmek mümkün değil). Şimdi kuvvet dengesini yazarsak:

Fm = m*V^2/r = m*g + T --> T = m(V^2/r - g) olur.

Doğru cevabı bulduğumuza göre dünyevi işlerimize dönebiliriz...

Buradaki hata cismi duruyor kabul etmektir. Duran bir cisimde kuvvet dengesi bozulursa cisim aşağı düşecektir, düşmediğine göre merkezkaç kuvveti vardır. Bu düşünce şekli fizikten çok meta-fiziktir. İlkel zamanlarda insanlar tabiatta olan biteni anlamadıklarında en fantastik açıklamalara itibar edebilmişlerdir (ne yazık ki günümüzde de bu durum utanç verici boyutlarda devam etmektedir, ama o ayrı bir bloğa kalsın).

Şimdi işin doğrusunu görelim. Evet, cisim tepe noktasındayken kuvvetlerin toplamı sıfır değil, mg + T'dir. Hareket kanunları gereği F = mg + T= m*a olduğundan cisim ivmelenecektir. Sabit hızlı dairesel hareket için ivme merkeze doğrudur ve değeri a = V^2/r'dir (hatırlamadığında türetmek kolaydır). Hareket denklemini o zaman şöyle yazabiliriz: mg + T = m*a = m*V^2/r. Buradan da T = m(V^2/r - g) bulunur.

Peki ama cisim niye direkt aşağı düşmüyor? Soruda hızın değerinin değişmediği verilmiş. Hız bir vektör olduğundan ortamda ivme varken hızın değeri değişmiyorsa yönü değişecektir. Tepe noktasından 45 derece sonraki durumu ele alalım:


Görüldüğü gibi dairesel harekette hız vektörü aşağı doğru bükülmekte, hız vektöründe dV kadar bir değişim meydana gelmektedir. Bükülmenin nedeni merkeze doğru etki eden ivmedir. Eğer ivme sıfır olsaydı cisim dairesel hareket yapamazdı, çünkü o zaman hızın değeri değişmediği gibi yönü de değişmezdi ve düz bir çizgi üzerinde devam ederdi:


Merkezkaç kuvvetinin uydurulmuş olmasının nedeni bence hızın bir vektör olduğunun algılanmamasıdır. Sanki sadece değeri varmış, yönü yokmuş gibi bir düşünce ile dairesel hareket sorusunu çözmenin tek yolu mistik kuvvetler icat etmektir.

Peki bu icat doğru cevabı buluyorsa niye kullanmayalım? Çünkü birincisi F = ma dışında yeni bir kural daha öğrenmek gerekiyor, üstelik de bu kural başka kurallarla çelişiyor (işkembeden kuvvet uydurulamaz kuralı) ve sadece belirli durumlarda işe yarıyor. Oysa F = ma tüm hareket problemlerini çözmek için gerekli tek kuraldır (o kadar da iddalıyım yani). Hem her durum için ayrı kurallar öğren, hem çelişkiler yumağı içinde yolunu bulmaya çalış... İnsanları fizikten tiksindirmenin daha emin bir yolu olamaz herhalde.

Soru üzerinde düşünürken aynı denklemle bir cismin dünya çevresinde dairesel bir yörüngede durması için sahip olması gereken hızı hesaplayabileceğimizi farkettik. Ortada herhangi bir ip olmayacağından T=0, F = mg, a = V^2/r olur. r cismin dünya merkezinden uzaklığıdır. O zaman F = m*a'dan m*g = m*V^2/r --> V = karekök(g*r) olur.


Örneğin yerden 400 km yükseklikteki yörüngeye bir uydu yerleştirmek istiyorsak uyduyu ulaştırmamız gereken hız = karekök(9.81 * (6400 + 400)) = 8.2 km/saniye (tabanca mermisi hızının 8 katı!). 6400 km = Dünyanın yarıçapı. Uzay roketlerinin o kadar büyük olmasının nedeni bu devasa yörünge hız gereksinimidir.

Güncelleme, 4 Mayıs 2014: Yerçekimini sabit kabul ettik. Biraz daha hassas hesap için Dünya yarıçapına bağlı formülü  kullanmalı: g(400km) = 9.81*(6400)^2/(6400+400)^2 = 8.7 m/s^2

İşte fiziğin/matematiğin güzelliği de burada. Basit bir sarkaç için geçerli olan kuralla dünya çevresine uydu yerleştirmek için kullanacağınız kural aynı prensiplere dayanmaktadır. Bunları farkettiğinde başı dönen, gözleri yaşaran fizik-şinas nesillere kavuşmak dileği ile, esen kalınız...

Bu yazı için ilham veren eşime ve kardeşine teşekkür ederim :)

mp3: Britney Spears - Everytime