Arşimet, Dershane ve Üniversite Sınavı

Geçen hafta Siril'in suyun kaldırma kuvveti ile alakalı bir sorusunu çözmeye çalışırken dershanelerin işlevi ve üniversite sınavının neyi ölçtüğü üzerine de kafa yorma fırsatım oldum. Günün sonunda pek muhterem bir kişi olan Pegasus'un da bilinçlendirmesi sayesinde dershanecilik konusunda kendimi otorite sayar duruma geldim :P

Soru şu:

Dershane tarafından öğretilen kısa yoldan çözüm şu:

Her sıvı içerisindeki cisme cismin batan kısmının taşırdığı sıvı kadar kaldırma kuvveti uygular (halk arasında Arşimet kanunu diye bilinir). Cismin taban alanına A dersek cismin her sıvıdaki hacmi h*A olur.
birinci sıvının kaldırma kuvveti = d*h*A*g
ikinci sıvının kaldırma kuvveti = 2*d*h*A*g
Cisim dengede durduğundan ağırlık kaldırma kuvvetlerine eşit:
mg = 3*d*h*A*g

d yoğunluklu sıvıyı boşalttığımızda cismin sıvı dışında kalan kısmının yüksekliğine y dersek


Yeni durumdaki kaldırma kuvveti 2*d*(2*h-y)*A*g = m*g olur.
Önceki durumda mg = 3*d*h*A*g olduğunu hesaplamıştık. İkisini birbirine eşitlersek,

2*d*(2*h-y)*A*g = 3*d*h*A*g

Buradan y = h/2 bulunur.

Çoğu insan burada düşünmeyi keser ve hayatına devam eder. Ancak "her sıvı içerisindeki cisme cismin batan kısmının taşırdığı sıvı kadar kaldırma kuvveti uygular" önermesi bu durumda geçerli değildir. Geçerli olabilmesi için sıvının cismin altına girebiliyor olması gerekir. Şimdi birinci şekle bakarsak d yoğunluklu sıvının cismin altına giremediği dolayısı ile herhangi bir kaldırma kuvveti uygulayamayacağını görürüz. Bilakis, cismin üstündeki sıvı cismi aşağı bastıracaktır.

Bu yeni değerlendirme ışığında soruyu çözüp doğru cevabı bulmaya çalışalım:

Öncelikle şekle dış ortam basıncı olan Patm'yi ekleyelim ve cismin üzerinde sıvının yüksekliğini gösterelim:


Hidrostatik der ki sıvı içerisindeki basınç derinlikle artar. Sıvılarda yoğunluk sabit alınabilir. Bu durumda cismin üzerine etkiyen kuvvetleri serbest cisim diagramı (free body diagram) ile gösterelim:


Burada F1 ve F2 kuvvet, P1 ve P2 basınçtır.

Newton'un ikinci hareket kanunu: F_toplam = m*a

Cisim dengede olduğuna göre hızı sıfır ve değişmiyor. Bu durumda ivme sıfır olur ve denklem F_toplam = 0 olur.

Toplam kuvvetleri yazalım: mg + F1 - F2 = 0
Açık ifadeleri yazalım:
mg + (Patm*A + xdgA) - (Patm*A + xdgA + 3hdgA) = 0
Görüldüğü gibi Patm*A ve xdgA terimleri gidiyor ve geriye kalan:

mg = 3hdgA oluyor.

Devam edelim. İkinci durum için kuvvetleri yazalım:


Benzer şekilde
mg + F3 - F4 = 0 -> mg + Patm*A - (Patm*A + (2h-y)2dgA)=0
-> mg = 4hdgA - 2ydgA

Biraz önce mg = 3hdgA bulmuştuk. Eşitleyelim:

3hdgA = 4hdgA + 2ydgA -> hdgA = 2ydgA -> y = h/2

İki yöntem de aynı sonucu verdi ama dershane yöntemi temel bir mantık hatası içermesine rağmen doğru sonuca üstelik daha hızlı ulaşıyor.

Önceleri dershanelerin anlattıkları konuları derinlemesine anlatmaları, herşeyin bir bütün olduğunu (burada dinamik ve arşimet aynı soruda karşımıza çıkıyor) belirtmeleri gerektiği, bunun daha çok net ile sonuçlanacağı gibi romantik düşüncelere sahiptim. Oysa ki dershanelerin maksadı konu öğretmek değil, netleri arttırmak. Netleri arttırmak da üniversite sınavında sorulanları çabuk çözmek manasına geliyor, herşeyi anlamak gerekmiyor. Birkaç yıl insanlar harıl harıl çabuk çözme formülü ezberliyor ve istediğini alabiliyor. Öğrenciler de bunun farkında olduğundan kendilerine ispat anlatan öğretmenlerden hoşlanmıyor, ispatları -haklı olarak- zaman kaybı görüyorlar. Pegasus'a beni gaflet uykusundan uyandırdığı ve işlerin gerçekte nasıl yürüdüğünü anlattığı için ne kadar teşekkür etsem azdır.

Tabi bütün bunların sonucunda karşımıza canından bezmiş, ezberci, odun gibi öğrenciler çıkıyor. Dershaneler doğal olarak işin temelini kapmış öğretmenler değil, birsürü hazır formülü dikte ettirecek öğretmenler istiyor. Bu durumda da nitelikli öğretmen ihtiyacı azalıyor ve öğretmenlerin çalışma koşulları rezilleşiyor. Ama bu dershanelerin suçu olmadığı gibi çözmeleri gereken birşey de değil. Okulların durumu ise daha vahim, çünkü artık kimse okullardan birşey beklemez olmuş, sadece aradan çıkarılması gereken zorunlu hizmet gibi görülüyor. Peki kim çözecek kördüğümü? Daha önce anlattım...

Günün sözü: "Wir müssen wissen. Wir werden wissen!" David Hilbert'in mezar taşı yazısı
Türkçe meali: "Bilmek zorundayız. Bileceğiz!"


mp3: Bach - Matthaeus Passion, Nr.78
"Wir setzen uns mit tränen nieder
und rufen dir im Grabe zu:
Ruhe sanfte, sanfte ruh"

Türkçe meali:
"Gözyaşları içerisinde oturuyoruz
ve sana mezarında sesleniyoruz:
Dinlen naziğim, dinlen"