E=mc^2 türetimi

Kütle-enerji eşitliği olan E=mc^2'nin türetimini anlamak için lise fizik bilgisi yeterli. Başlangıç formülleri:

* Fotonun enerjisi E = h*f = h*c/lambda
* Fotonun momentumu p = h/lambda = E/c

Devamı için bkz. The Derivation of E=mc2. Biraz farklı bir ispat da burada.

Cevabını bulamadığım soru fotonun kütlesinin sıfır olduğunun ispatı... Gördüğüm kadarı ile tam bir deneysel ispatı yok. Kütle de ikiye ayrılıyormuş: Durağan kütle ve relativistik kütle. Fotonun durağan kütlesi sıfır kabul ediliyor, ancak relativistik kütlesi var. Bu nedenle yerçekimininden etkilenirmiş. Fantastico...

Yeni Fikirler Yeni İşler

14 Kasım'da Yeni Fikirler Yeni İşler yarışmasının ODTÜ KKM'de yapılan finaline gittim. Yarışma öğrencilerin işe dönüşebilecek fikirlerini desteklemek amacını taşıyor, METUTECH tarafından düzenleniyor. Ödüller ciddi: Birinciye 75 KTL + Teknokent'te 3 yıl bedava ofis. Yarışmaya katılanlar genelde son sınıf ve mastır düzeyindeydi. Ana sponsor olan Elginkan Vakfı'nın (E.C.A.'nın vakfı) yanısıra zengin bir sponsor listesi vardı.

Ares I-X

Nasa dün Ares I-X'i başarıyla fırlattı. Youtube'da tüm gelişmeleri anlatan videolar var. Böyle sistemlerin nasıl çalışmalarla ortaya çıkarıldığını merak edenlere ayrıntılı video raporları:

Nerd olmanın dayanılmaz hafifliği

Derya ile bir eğik atış problemini çözdükten sonra (5 dakika) hızımı alamayıp bir saat boyunca şunlarla uğraştım:
* Problemi farklı başlangıç koşulları ile çözersek ne olur
* MATLAB'de animasyon nasıl yapılır
* Camtasia ile animated gif nasıl oluşturulur
* Blogger'a animated gif nasıl yüklenir (picasa'ya yükleyip link vermek gerekiyor yoksa statik bir resim oluyor)

Sonuç: [Güncelleme 29 Ekim 09: Nardımın ve Rahmiziimin ısrarlarına dayanamayarak gif'i güncelledim, wikipedia sayfasına da yükledim. Bu arada maximum x'in atış yüksekliğine bağlı olduğunu farkettim. 45 derece için max x ancak atış yüksekliği sıfır iken geçerli. Misal aşağıdaki örnekte max x 32 derecede gerçekleşiyor. Türetim için x'i alpha cinsinden yaz, alpha'ya göre türevi sıfıra eşitle... Erindim şimdi...]

Nerd'lük en ıvır zıvır mevzuyu bile teknolojik bir projeye dönüştürebilmek olsa gerek(!). Uç noktası için bkz. How to measure the height of a building

Biyolojik yazılımı güncellemek

Craig Venter hücrelerin yazılımını (genetik kodu) değiştirerek hücre donanımını güncelleme, sentetik yaşamın elde edilmesi üzerine konuşuyor (2008 Şubat). Kulağa hoş geliyor, ama sanırım ciddi mühendislik sorunları vardır üstesinden gelinmesi gereken.

Feynman Feynman Über Alles!

Feynman'ı (telaffuz: Faynmın) severiz, ne yazdıysa okuruz. Bill Gates'in telif haklarını satın alıp kamuya açtığı Feynman videolardan biri olan The Relation of Mathematics to Physics videosunu herkese tavsiye ederim, derhal gidip izleyiniz. Fizik ve matematik arasındaki ilişkiyi ve birbirinden farklarını bu kadar yalın, anlaşılır ve eğlenceli anlatanı görmemiştim. Fiziğin ilk dersi böyle olsa ne muhteşem olurdu!

Videoyu izlemek için internet explorer'ı açıp şu linke gitmeniz lazım: http://research.microsoft.com/apps/tools/tuva/index.html

mp3: Hayko Cepkin - Melekler

Merkezkaç Kuvveti

Dün eşimin kardeşinin fizikte kavramsal hatalar konulu sunumunu izlerken merkezkaç kuvvetini tartıştık (Bu durum çevremdeki mühendis arkadaşları hasetinden çatlatacaktır; kaçı eşi ile fizikteki kavramsal hatalar konulu bir sohbeti 3 saniyeden fazla sürdürebilir :P). Okullarımızda ve dershanelerde yaygın olarak kullanılmaktaydı merkezkaç kuvveti. Yine tipik bir yanlış yoldan doğru çözümü bulma yöntemi ile karşı karşıyaydık. Eğitim sistemimiz gidiş yolu ile değil sadece cevabın doğruluğu ile ilgilendiği için merkezkaç kuvveti gibi mistik icatlar hayat bulabiliyor kitaplarda ve derslerde.

Eh, madem sistem anlatmıyor, biz anlatalım bari. Merkezkaç kuvveti kullanılarak çözülen tipik bir soruyu ele alalım:


Merkezkaç kuvveti ile çözüm: Cisim tepe noktasındayken üzerine m*g ve ipteki gerilim kuvveti olan T etki eder. Sadece bu kuvvetler etki ederse kuvvetlerin toplamı sıfır olmadığından F = m*a gereği aşağı doğru ivme (a) oluşur cisim aşağı düşer. Cisim aşağı düşmediğine göre kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır. Bunu sağlayan da merkezkaç kuvvetidir (Fm) ve dengeyi sağlayacak şekilde etki etmektedir:


Merkezkaç kuvvetinin değeri m*V^2/r'dir (ezbere bilinmesi gerekiyor, türetmek mümkün değil). Şimdi kuvvet dengesini yazarsak:

Fm = m*V^2/r = m*g + T --> T = m(V^2/r - g) olur.

Doğru cevabı bulduğumuza göre dünyevi işlerimize dönebiliriz...

Buradaki hata cismi duruyor kabul etmektir. Duran bir cisimde kuvvet dengesi bozulursa cisim aşağı düşecektir, düşmediğine göre merkezkaç kuvveti vardır. Bu düşünce şekli fizikten çok meta-fiziktir. İlkel zamanlarda insanlar tabiatta olan biteni anlamadıklarında en fantastik açıklamalara itibar edebilmişlerdir (ne yazık ki günümüzde de bu durum utanç verici boyutlarda devam etmektedir, ama o ayrı bir bloğa kalsın).

Şimdi işin doğrusunu görelim. Evet, cisim tepe noktasındayken kuvvetlerin toplamı sıfır değil, mg + T'dir. Hareket kanunları gereği F = mg + T= m*a olduğundan cisim ivmelenecektir. Sabit hızlı dairesel hareket için ivme merkeze doğrudur ve değeri a = V^2/r'dir (hatırlamadığında türetmek kolaydır). Hareket denklemini o zaman şöyle yazabiliriz: mg + T = m*a = m*V^2/r. Buradan da T = m(V^2/r - g) bulunur.

Peki ama cisim niye direkt aşağı düşmüyor? Soruda hızın değerinin değişmediği verilmiş. Hız bir vektör olduğundan ortamda ivme varken hızın değeri değişmiyorsa yönü değişecektir. Tepe noktasından 45 derece sonraki durumu ele alalım:


Görüldüğü gibi dairesel harekette hız vektörü aşağı doğru bükülmekte, hız vektöründe dV kadar bir değişim meydana gelmektedir. Bükülmenin nedeni merkeze doğru etki eden ivmedir. Eğer ivme sıfır olsaydı cisim dairesel hareket yapamazdı, çünkü o zaman hızın değeri değişmediği gibi yönü de değişmezdi ve düz bir çizgi üzerinde devam ederdi:


Merkezkaç kuvvetinin uydurulmuş olmasının nedeni bence hızın bir vektör olduğunun algılanmamasıdır. Sanki sadece değeri varmış, yönü yokmuş gibi bir düşünce ile dairesel hareket sorusunu çözmenin tek yolu mistik kuvvetler icat etmektir.

Peki bu icat doğru cevabı buluyorsa niye kullanmayalım? Çünkü birincisi F = ma dışında yeni bir kural daha öğrenmek gerekiyor, üstelik de bu kural başka kurallarla çelişiyor (işkembeden kuvvet uydurulamaz kuralı) ve sadece belirli durumlarda işe yarıyor. Oysa F = ma tüm hareket problemlerini çözmek için gerekli tek kuraldır (o kadar da iddalıyım yani). Hem her durum için ayrı kurallar öğren, hem çelişkiler yumağı içinde yolunu bulmaya çalış... İnsanları fizikten tiksindirmenin daha emin bir yolu olamaz herhalde.

Soru üzerinde düşünürken aynı denklemle bir cismin dünya çevresinde dairesel bir yörüngede durması için sahip olması gereken hızı hesaplayabileceğimizi farkettik. Ortada herhangi bir ip olmayacağından T=0, F = mg, a = V^2/r olur. r cismin dünya merkezinden uzaklığıdır. O zaman F = m*a'dan m*g = m*V^2/r --> V = karekök(g*r) olur.


Örneğin yerden 400 km yükseklikteki yörüngeye bir uydu yerleştirmek istiyorsak uyduyu ulaştırmamız gereken hız = karekök(9.81 * (6400 + 400)) = 8.2 km/saniye (tabanca mermisi hızının 8 katı!). 6400 km = Dünyanın yarıçapı. Uzay roketlerinin o kadar büyük olmasının nedeni bu devasa yörünge hız gereksinimidir.

Güncelleme, 4 Mayıs 2014: Yerçekimini sabit kabul ettik. Biraz daha hassas hesap için Dünya yarıçapına bağlı formülü  kullanmalı: g(400km) = 9.81*(6400)^2/(6400+400)^2 = 8.7 m/s^2

İşte fiziğin/matematiğin güzelliği de burada. Basit bir sarkaç için geçerli olan kuralla dünya çevresine uydu yerleştirmek için kullanacağınız kural aynı prensiplere dayanmaktadır. Bunları farkettiğinde başı dönen, gözleri yaşaran fizik-şinas nesillere kavuşmak dileği ile, esen kalınız...

Bu yazı için ilham veren eşime ve kardeşine teşekkür ederim :)

mp3: Britney Spears - Everytime

Arşimet, Dershane ve Üniversite Sınavı

Geçen hafta Siril'in suyun kaldırma kuvveti ile alakalı bir sorusunu çözmeye çalışırken dershanelerin işlevi ve üniversite sınavının neyi ölçtüğü üzerine de kafa yorma fırsatım oldum. Günün sonunda pek muhterem bir kişi olan Pegasus'un da bilinçlendirmesi sayesinde dershanecilik konusunda kendimi otorite sayar duruma geldim :P

Soru şu:

Dershane tarafından öğretilen kısa yoldan çözüm şu:

Her sıvı içerisindeki cisme cismin batan kısmının taşırdığı sıvı kadar kaldırma kuvveti uygular (halk arasında Arşimet kanunu diye bilinir). Cismin taban alanına A dersek cismin her sıvıdaki hacmi h*A olur.
birinci sıvının kaldırma kuvveti = d*h*A*g
ikinci sıvının kaldırma kuvveti = 2*d*h*A*g
Cisim dengede durduğundan ağırlık kaldırma kuvvetlerine eşit:
mg = 3*d*h*A*g

d yoğunluklu sıvıyı boşalttığımızda cismin sıvı dışında kalan kısmının yüksekliğine y dersek


Yeni durumdaki kaldırma kuvveti 2*d*(2*h-y)*A*g = m*g olur.
Önceki durumda mg = 3*d*h*A*g olduğunu hesaplamıştık. İkisini birbirine eşitlersek,

2*d*(2*h-y)*A*g = 3*d*h*A*g

Buradan y = h/2 bulunur.

Çoğu insan burada düşünmeyi keser ve hayatına devam eder. Ancak "her sıvı içerisindeki cisme cismin batan kısmının taşırdığı sıvı kadar kaldırma kuvveti uygular" önermesi bu durumda geçerli değildir. Geçerli olabilmesi için sıvının cismin altına girebiliyor olması gerekir. Şimdi birinci şekle bakarsak d yoğunluklu sıvının cismin altına giremediği dolayısı ile herhangi bir kaldırma kuvveti uygulayamayacağını görürüz. Bilakis, cismin üstündeki sıvı cismi aşağı bastıracaktır.

Bu yeni değerlendirme ışığında soruyu çözüp doğru cevabı bulmaya çalışalım:

Öncelikle şekle dış ortam basıncı olan Patm'yi ekleyelim ve cismin üzerinde sıvının yüksekliğini gösterelim:


Hidrostatik der ki sıvı içerisindeki basınç derinlikle artar. Sıvılarda yoğunluk sabit alınabilir. Bu durumda cismin üzerine etkiyen kuvvetleri serbest cisim diagramı (free body diagram) ile gösterelim:


Burada F1 ve F2 kuvvet, P1 ve P2 basınçtır.

Newton'un ikinci hareket kanunu: F_toplam = m*a

Cisim dengede olduğuna göre hızı sıfır ve değişmiyor. Bu durumda ivme sıfır olur ve denklem F_toplam = 0 olur.

Toplam kuvvetleri yazalım: mg + F1 - F2 = 0
Açık ifadeleri yazalım:
mg + (Patm*A + xdgA) - (Patm*A + xdgA + 3hdgA) = 0
Görüldüğü gibi Patm*A ve xdgA terimleri gidiyor ve geriye kalan:

mg = 3hdgA oluyor.

Devam edelim. İkinci durum için kuvvetleri yazalım:


Benzer şekilde
mg + F3 - F4 = 0 -> mg + Patm*A - (Patm*A + (2h-y)2dgA)=0
-> mg = 4hdgA - 2ydgA

Biraz önce mg = 3hdgA bulmuştuk. Eşitleyelim:

3hdgA = 4hdgA + 2ydgA -> hdgA = 2ydgA -> y = h/2

İki yöntem de aynı sonucu verdi ama dershane yöntemi temel bir mantık hatası içermesine rağmen doğru sonuca üstelik daha hızlı ulaşıyor.

Önceleri dershanelerin anlattıkları konuları derinlemesine anlatmaları, herşeyin bir bütün olduğunu (burada dinamik ve arşimet aynı soruda karşımıza çıkıyor) belirtmeleri gerektiği, bunun daha çok net ile sonuçlanacağı gibi romantik düşüncelere sahiptim. Oysa ki dershanelerin maksadı konu öğretmek değil, netleri arttırmak. Netleri arttırmak da üniversite sınavında sorulanları çabuk çözmek manasına geliyor, herşeyi anlamak gerekmiyor. Birkaç yıl insanlar harıl harıl çabuk çözme formülü ezberliyor ve istediğini alabiliyor. Öğrenciler de bunun farkında olduğundan kendilerine ispat anlatan öğretmenlerden hoşlanmıyor, ispatları -haklı olarak- zaman kaybı görüyorlar. Pegasus'a beni gaflet uykusundan uyandırdığı ve işlerin gerçekte nasıl yürüdüğünü anlattığı için ne kadar teşekkür etsem azdır.

Tabi bütün bunların sonucunda karşımıza canından bezmiş, ezberci, odun gibi öğrenciler çıkıyor. Dershaneler doğal olarak işin temelini kapmış öğretmenler değil, birsürü hazır formülü dikte ettirecek öğretmenler istiyor. Bu durumda da nitelikli öğretmen ihtiyacı azalıyor ve öğretmenlerin çalışma koşulları rezilleşiyor. Ama bu dershanelerin suçu olmadığı gibi çözmeleri gereken birşey de değil. Okulların durumu ise daha vahim, çünkü artık kimse okullardan birşey beklemez olmuş, sadece aradan çıkarılması gereken zorunlu hizmet gibi görülüyor. Peki kim çözecek kördüğümü? Daha önce anlattım...

Günün sözü: "Wir müssen wissen. Wir werden wissen!" David Hilbert'in mezar taşı yazısı
Türkçe meali: "Bilmek zorundayız. Bileceğiz!"


mp3: Bach - Matthaeus Passion, Nr.78
"Wir setzen uns mit tränen nieder
und rufen dir im Grabe zu:
Ruhe sanfte, sanfte ruh"

Türkçe meali:
"Gözyaşları içerisinde oturuyoruz
ve sana mezarında sesleniyoruz:
Dinlen naziğim, dinlen"