Kartezyen ve Polar Koordinatlarda Denklem

Fizik dersinden eğik atış hareketini hatırlayalım:


m kütlesine sahip bir cismi v ilk hızı ile g yerçekimine sahip bir yerde fırlatıyoruz. Bu cisim parabolik bir yol izler (ispatı için aşağıda, kartezyen çözümünde y(t) denklemini inceleyiniz).

Cismin zamana göre y ve x değişimini hesaplamak için ezberci davranmayıp temel hareket denklemlerini türetelim. Önce şansımızı polar koordinatları kullanarak deneyelim:


Görüldüğü gibi oluşan diferansiyel denklemler biraz ürkütücü, R ve theta'nın zamana bağlı ifadelerini bulmak mangal gibi yürek ister. Şimdi de kartezyen koordinatlarla türetim yapalım:


Denklemler analitik olarak elle kolayca çözülüyor ve hepimizin aşina olduğu çözümü buluyoruz! Bu vesile ile Fundamental Theorem of Calculus'u da hatırlamış olduk.

Polar koordinatlarda denklemleri karmaşıklaştıran birim vektörlerin hareket boyunca sabit olmayıp dönmesidir. Dönme nedeniyle birim vektörlerin de zamana göre türevi vardır. Kartezyen koordinatlarda birim vektörler sabit olduğundan zamana göre türevleri sıfırdır ve denklemler son derece basittir. Polar koordinatın hayatımızı kolaylaştırdığı pek çok durum vardır ancak eğik atış denklemleri bunlar arasında değildir.

Bu mevzu bana daha önceki bir yazımızda bahsettiğimiz sayıların ikili ve onlu sistemde ifade edilmelerindeki enteresan durumu anımsattı.